(1)已知|a|<1,|b|<1,求证:|1-aba-b|>1;(2)求实数λ的取值范围,使不等式|1-abλaλ-b|>1对满足|a|<1,|b|<1的一切实
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(1)已知|a|<1,|b|<1,求证:|1-aba-b|>1;(2)求实数λ的取值范围,使不等式|1-abλaλ-b|>1对满足|a|<1,|b|<1的一切实
题型:宁波模拟
难度:
来源:
(1)已知|a|<1,|b|<1,求证:|
1-ab
a-b
|>1;
(2)求实数λ的取值范围,使不等式|
1-abλ
aλ-b
|>1对满足|a|<1,|b|<1的一切实数a、b恒成立;
(3)已知|a|<1,若|
a+b
1+ab
|<1,求b的取值范围.
答案
(1)证明:|1-ab|
2
-|a-b|
2
=1+a
2
b
2
-a
2
-b
2
=(a
2
-1)(b
2
-1).
∵|a|<1,|b|<1,
∴a
2
-1<0,b
2
-1<0.
∴|1-ab|
2
-|a-b|
2
>0.
∴|1-ab|>|a-b|,
|1-ab|
|a-b|
=
|1-a•b|
|a-b|
>1.
(2)∵|
1-abλ
aλ-b
|>1⇔|1-abλ|
2
-|aλ-b|
2
=(a
2
λ
2
-1)(b
2
-1)>0.
∵b
2
<1,
∴a
2
λ
2
-1<0对于任意满足|a|<1的a恒成立.
当a=0时,a
2
λ
2
-1<0成立;
当a≠0时,要使λ
2
<
1
a
2
对于任意满足|a|<1的a恒成立,而
1
a
2
>1,
∴|λ|≤1.故-1≤λ≤1.
(3)|
a+b
1+ab
|<1⇔(
a+b
1+ab
)
2
<1⇔(a+b)
2
<(1+ab)
2
⇔a
2
+b
2
-1-a
2
b
2
<0⇔(a
2
-1)(b
2
-1)<0.
∵|a|<1,
∴a
2
<1.
∴1-b
2
>0,
即-1<b<1.
举一反三
当k∈R,k为定值时,函数f(x)=
x
2
+k
+
1
x
2
+k
的最小值为______.
题型:黄埔区一模
难度:
|
查看答案
已知x>1,y>1,且log
3
x•log
3
y=1,则xy的最小值是______.
题型:不详
难度:
|
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若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是______.
题型:浙江
难度:
|
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已知a>0,b>0,则
1
a
+
1
b
+2
ab
的最小值是 ______.
题型:不详
难度:
|
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已知x,y∈R
+
,
2
x-3
=(
1
2
)
y
,若
1
x
+
m
y
,(m>0)的最小值为3,则m等于( )
A.4
B.3
C.
2
2
D.2
题型:鹰潭一模
难度:
|
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