若a，b，c∈R+，a+2b+3c=6．（1）求abc的最大值；（2）求证a+6a+b+3b+c+2c≥12．

题型：不详难度：来源：

若a，b，c∈R⁺，a+2b+3c=6．
（1）求abc的最大值；
（2）求证

a+6

a

+

b+3

b

+

c+2

c

≥12．

答案

（1）∵a，b，c∈R⁺，a+2b+3c=6
∴abc=

1

6

a?2b?3c≤

1

6

（

a+2b+3c

3

）³=

4

3

当a=2，b=1，c=

2

3

时取等号，∴abc的最大值为

4

3

…．…..（5分）
（2）∵

a+6

a

+

b+3

b

+

c+2

c

=3+

6

a

+

3

b

+

2

c

而（

6

a

+

3

b

+

2

c

） （a+2b+3c）≥（

6

+

6

+

6

）²=54
∴

6

a

+

3

b

+

2

c

≥9
∴

a+6

a

+

b+3

b

+

c+2

c

≥12…（10分）