已知函数和点P(1,0),过点P作曲线y=f(x)的两条切线PM、PN,切点分别为M、N.(Ⅰ)设|MN|=g(t),试求函数g(t)的表达式;(Ⅱ)是否存在t

已知函数和点P(1,0),过点P作曲线y=f(x)的两条切线PM、PN,切点分别为M、N.(Ⅰ)设|MN|=g(t),试求函数g(t)的表达式;(Ⅱ)是否存在t

题型:广东省同步题难度:来源:
已知函数和点P(1,0),过点P作曲线y=f(x)的两条切线PM、PN,切点分别为M、N.
(Ⅰ)设|MN|=g(t),试求函数g(t)的表达式;
(Ⅱ)是否存在t,使得M、N与A(0,1)三点共线.若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若对任意的正整数n,在区间内总存在m+1个实数a1,a2,…,am,a m+1,使得不等式g(a1)+g(a2)+…+g(am)<g(a m+1)成立,求m的最大值.
答案
解:(Ⅰ)设M、N两点的横坐标分别为x1、x2

∴切线PM的方程为:
又∵切线PM过点P(1,0),
∴有,即x12+2tx1﹣t=0,(1)
同理,由切线PN也过点P(1,0),得x22+2tx2﹣t=0.(2)
由(1)、(2),可得x1,x2是方程x2+2tx﹣t=0的两根,
(*)
=,把(*)式代入,得
因此,函数g(t)的表达式为
(Ⅱ)当点M、N与A共线时,kMA=kNA
=,即=
化简,得(x2﹣x1)[t(x2+x1)﹣x1x2]=0
∵x1≠x2
∴t(x2+x1)=x2x1.(3)
把(*)式代入(3),解得
∴存在t,使得点M、N与A三点共线,且
(Ⅲ)知g(t)在区间上为增函数,
(i=1,2,...,m+1),则.依题意,不等式对一切的正整数n恒成立,,即对一切的正整数n恒成立.


.由于m为正整数,∴m≤6.
又当m=6时,存在a1=a2═am=2,a m+1=16,对所有的n满足条件.
因此,m的最大值为6.
举一反三
已知各项均为正数的等比数列=的最小值为(    )。
题型:江苏期末题难度:| 查看答案
已知a>0,b>0,a+b=2,则的最小值是[     ]
A.
B.4
C.
D.5
题型:湖北省同步题难度:| 查看答案
恒成立,则k的最大值是(    )
题型:江苏同步题难度:| 查看答案
如图,某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y(单位:米)的矩形,上部是斜边长为x的等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为8平方米.
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(Ⅱ)问x,y分别为多少时用料最省?
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若a,b,c是不全相等的正数,求证:
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