已知实数x满足x+x≤a(3x+1)恒成立，则实数a的最小值为______．

题型：不详难度：来源：

已知实数x满足x+

x

≤a(3x+1)恒成立，则实数a的最小值为______．

答案

设

x

=t（t≥0），则原不等式可化为：t²+t≤a（3t²+1），
即a≥

t2+t

3t2+1

，
设y=

t2+t

3t2+1

（t≥0），则t²+t=3yt²+y，
即（3y-1）t²-t+y=0，∴△=1-4（3y-1）y≥0，
∴-

1

6

≤y≤

1

2

．∴y的最大值为

1

2

，
由于a≥

t2+t

3t2+1

恒成立，∴a≥

1

2

，
则实数a的最小值为

1

2

．
故答案为：

1

2

．