已知f(x)=|x-1|-|2x+3|.(1)f(x)≤a恒成立,求实数a的取值范围;(2)对于任意非零实数m,不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|f(x)恒

已知f(x)=|x-1|-|2x+3|.(1)f(x)≤a恒成立,求实数a的取值范围;(2)对于任意非零实数m,不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|f(x)恒

题型:不详难度:来源:
已知f(x)=|x-1|-|2x+3|.
(1)f(x)≤a恒成立,求实数a的取值范围;
(2)对于任意非零实数m,不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|f(x)恒成立,求实数x的取值范围.
答案
(1)当x<-
3
2
时,f(x)=1-x+2x+3=4+x,f(x)≤f(-
3
2
)=
5
2

-
3
2
≤x≤1时,f(x)=1-x-(2x+3)=-3x-2,f(1)=-5≤f(x)≤f(-
3
2
)=
5
2

当x>1时,f(x)=-(1-x)-(2x+3)=-x-4,f(x)<f(1)=-5
函数f(x)的最大值为
5
2
,要使不等式恒成立,只需a≥
5
2
,即实数a的取值范围为[
5
2
,+∞)
不等式恒成立,即|x-1|-|2x+3|≤
|2m-1|+|1-m|
|m|
恒成立.
因为
|2m-1|+|1-m|
|m|
|2m-1+1-m|
|m|
=1,
所以只需|x-1|-|2x+3|≤1
①当x<-
3
2
时,原不等式可以化为1-x+2x+3≤1,解得x≤-3
②当-
3
2
≤x≤1时,原不等式可以化为1-x-(2x+3)≤1,解得-1≤x≤1,
③当x>1时,原不等式可以化为-x-4≤1,解得x>1
综上所述,x的取值范围是(-∞,-3]∪[-1,+∞)
举一反三
若对任意的a∈R,不等式|x|+|x-1|≥|1+a|-|1-a|恒成立,则实数x的取值范围是______.
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不等式|x+1|-|x-3|<a的解集为非空集合,则实数a的取值范围是______.
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不等式|x-2|(x-1)<2的解集是 ______.
题型:不详难度:| 查看答案
不等式|x-1|≤x的解集是______.
题型:广州一模难度:| 查看答案
若实数x、y、m满足|x-m|<|y-m|,则称x比y接近m.
(1)若x2-1比3接近0,求x的取值范围;
(2)对任意两个不相等的正数a、b,证明:a2b+ab2比a3+b3接近2ab


ab

(3)已知函数f(x)的定义域D{x|x≠kπ,k∈Z,x∈R}.任取x∈D,f(x)等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值.写出函数f(x)的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明).
题型:上海难度:| 查看答案
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