已知函数f(x)=x|x-2|,x∈R.(1)求不等式-3<f(x)<3的解集;(2)设f(x)在[0,a]上的最大值为g(a),若g(a)<a+14,求正实数

已知函数f(x)=x|x-2|,x∈R.(1)求不等式-3<f(x)<3的解集;(2)设f(x)在[0,a]上的最大值为g(a),若g(a)<a+14,求正实数

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x|x-2|,x∈R.
(1)求不等式-3<f(x)<3的解集;
(2)设f(x)在[0,a]上的最大值为g(a),若g(a)<a+
1
4
,求正实数a的取值范围.
答案
(1)由题意不等式-3<f(x)<3,化为不等式-3<x|x-2|<3,
当x<2时,不等式为:-3<2x-x2<3,即





-3<2x-x2
2x-x2<3

解得-1<x<2;
当x≥2时,不等式-3<x|x-2|<3为:-3<x2-2x<3,即





-3<-2x+x2
x2-2x<3

解得:2≤x<3;
综上不等式的解集为:{x|-1<x<3}.
(2)函数f(x)=x|x-2|=





x2-2x    x>2
2x-x2     x≤2

函数f(x)在[0,a]上的最大值为g(a)=





2a-a2   0≤a≤1
1         1<a≤1+


2
a2-2a    a>1+


2
 

g(a)<a+
1
4
,可得:0<a≤2时,2a-a2<a+
1
4
,解得:0<a≤2且a
1
2

1<a≤1+


2
时,1<a+
1
4
,解得:1<a≤1+


2

a≥1+


2
时,a2-2a<a+
1
4
,解得a>
3+


10
2

综上a的取值范围是:{a|0<a<
1
2
或1<a≤1+


2
或a>
3+


10
2
}
举一反三
关于x的不等式|x-3|+|x-2|<a无实数解,则a的取值范围是(  )
A.a≥1B.a>1C.a≤1D.a<1
题型:不详难度:| 查看答案
不等式3≤|2-x|<9的解集是______.
题型:不详难度:| 查看答案
对于x∈R,不等式|x+10|-|x-2|≥8的解集为______.
题型:江西难度:| 查看答案
若关于x的不等式|x+2|+|x-1|>log2a的解集为R,则实数a的取值范围是______.
题型:潍坊二模难度:| 查看答案
(1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为p=2sinθ+4cosθ,以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为______.
(2)(不等式选做题)对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为______.
题型:江西难度:| 查看答案
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