如图,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;(Ⅱ

如图,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;(Ⅱ

题型:福建难度:来源:
如图,椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.
(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动,值有|OA|2+|OB|2<|AB|2,求a的取值范围.魔方格
答案

魔方格
(Ⅰ)设M,N为短轴的两个三等分点,
因为△MNF为正三角形,所以|OF|=


3
2
|MN|

即1=


3
2
2b
3
,解得b=


3
.
a2=b2+1=4,因此,椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1.

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).
(ⅰ)当直线AB与x轴重合时,
|OA|2+|OB|2=2a2,|AB|2=4a2(a2>1),
因此,恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2
(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时,
设直线AB的方程为:x=my+1,代入
x2
a2
+
y2
b2
=1

整理得(a2+b2m2)y2+2b2my+b2-a2b2=0,
所以y1+y2=
2b2m
a2+b2m2
y1y2=
b2-a2b2
a2+b2m2

因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,所以∠AOB恒为钝角.


OA


OB
=(x1y1)•(x2y2)=x1x2+y1y2<0
恒成立.
x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1
=
(m2+1)(b2-a2b2)
a2+b2m2
-
2b2m2
a2+b2m2
+1

=
-m2a2b2+b2-a2b2+a2
a2+b2m2
<0.

又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对m∈R恒成立,
即a2b2m2>a2-a2b2+b2对m∈R恒成立.
当m∈R时,a2b2m2最小值为0,所以a2-a2b2+b2<0.
a2<a2b2-b2,a2<(a2-1)b2=b4
因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0,
解得a>
1+


5
2
或a<
1-


5
2
(舍去),即a>
1+


5
2

综合(i)(ii),a的取值范围为(
1+


5
2
,+∞).
举一反三
设函数f(x)=x3+x,x∈R.若当0<θ<
π
2
时,不等式f(msinθ)+f(1-m)>0恒成立,则实数m的取值范围是(  )
A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.(
1
2
,1)
D.(
1
2
,1]
题型:不详难度:| 查看答案
解关于x的不等式:
a(x-1)
x-2
>2(a≥1)
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=





x-2(x≥2)
-1  (x<2)
,则不等式xf(x-1)<10的解集是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=





2x2+1,x≤0
-2x,x>0
,则不等式f(x)-x≤2的解集是______.
题型:不详难度:| 查看答案
不等式
x-2
x+1
≤0的解集是(  )
A.(-∞,-1)∪(-1,2)B.[-1,2]C.(-∞,-1)∪[2,+∞)D.(-1,2]
题型:湖南难度:| 查看答案
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