如图，直线ll：y=2x与直线l2：y=-2x之间的阴影区域（不含边界）记为w，其左半部分记为w1，右半部分记为W2．（1）分别用不等式组表示w1和w2：（2）

题型：不详难度：来源：

如图，直线l_l：y=2x与直线l₂：y=-2x之间的阴影区域（不含边界）记为w，其左半部分记为w₁，右半部分记为W₂．
（1）分别用不等式组表示w₁和w₂：
（2）若区域W中的动点P（x，y）到l₁，l₂的距离之积等于4，求点P的轨迹C的方程；
（3）设不过原点的直线l与曲线C相交于M_l，M₂两点，且与l_l，l₂如分别交于M₃，M₄两点．求证△OM_lM₂的重心与△OM₃M₄的重心重合．
【三角形重心坐标公式：△ABC的顶点坐标为A（x_l，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），则△ABC的重心坐标为（

x1+x2+x3

3

，

y1+y2+y3

3

）】

答案

（1）由图象可知W1：

y＜2x y＞-2x

，W2：

y＞2x y＜-2x

．
（2）由题意知，

|2x-y|

5

×

|2x+y|

5

=4得|

x2

5

-

y2

20

|=1，又P在W内，故有

x2

5

-

y2

20

=1．
（3）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x=a（a≠O）．由于直线l，曲线C关于x轴
对称，且ll₁与l₂关于x轴对称，于是M₁M₂，M₃M₄的中点坐标都为（a，0），
所以△OM₁M₂，△OM₃M₄的重心坐标都为（

2a

3

，0），即它们的重心重合．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠O），
由

4x2-y2=20 y=mx+n

，得（4-m²）x²-2mnx-n²-20=0，
由直线l与曲线C有两个不同交点，可知4-m²≠0，且
△=（2mn）²+4（4-m²）（n²+20）＞0…（1分）
设M₁，M₂的坐标分别为（x_l，y₁），（x₂，y₂）．
则x_l+x₂=

2mn

4-m2

，y₁+y₂═m（x_l+x₂）+2n
设M₃，M₄的坐标分别为（x₃，x₄），（x₄，y₄）．
由

y=2x y=mx+n

与

y=-2x y=mx+n

，得x₃=

n

2-m

，x₃=

n

2+m

从而x₃+x₄=

2mn

4-m2

=x₁+x₂
所以y₃+y₄=m（x₃+x₄）+2n=m（x₁+x₂）+2n=y₁+y₂
所以

0+x1+x2

3

=

0+x3+x4

3

，

0+y1+y2

3

=

0+y3+y4

3

于是AOM₁M₂的重心与△OM₃M₄的重心也重合．