已知x-y+2≥0x+y-4≥02x-y-5≤0求:(Ⅰ)z=x+2y-4的最大值;(Ⅱ)z=x2+y2-10y+25的最小值;(Ⅲ)z=2y+1x+1的范围.

已知x-y+2≥0x+y-4≥02x-y-5≤0求:(Ⅰ)z=x+2y-4的最大值;(Ⅱ)z=x2+y2-10y+25的最小值;(Ⅲ)z=2y+1x+1的范围.

题型:不详难度:来源:
已知





x-y+2≥0
x+y-4≥0
2x-y-5≤0
求:
(Ⅰ)z=x+2y-4的最大值;
(Ⅱ)z=x2+y2-10y+25的最小值;
(Ⅲ)z=
2y+1
x+1
的范围.
答案
(Ⅰ)作出可行域如图所示,并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).
易知可行域内各点均在直线x+2y-4=0的上方,故x+2y-4>0,
将点C(7,9)代入z得最大值为21.(红线部分)
(Ⅱ)z=x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方,
过M作直线AC的垂线,易知垂足N在线段AC上,
故z的最小值是|MN|2=
9
2
.(绿线部分)
(Ⅲ)z=
2y+1
x+1
=2•
y+
1
2
x+1
的几何意义表示为区域内的动点P(x,y)与定点D(-1,-
1
2
)连线斜率的2倍.
由图象可知DA的斜率最小为k=
7
4
,DB的斜率最大为k=
3
8

3
8
≤k≤
7
4

3
4
≤2k≤
7
2
,(蓝色线部分)
即z的取值范围是[
3
4
7
2
].
举一反三
若x,y满足约束条件





y+x≤1
y-3x≤1
y-x≥-1
,则目标函数z=2x+y的最大值是(  )
A.-3B.
3
2
C.2D.3
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不等式x-(m2-2m+4)y+6>0表示的平面区域是以直线x-(m2-2m+4)y+6=0为界的两个平面区域中的一个,且点(1,1)在这个区域内,则实数m的取值范围是(  )
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.[-1,3]D.(-1,3)
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已知点P(x,y)满足条件





y≥0
y≤x
2x+y-9≤0
,则z=x-3y的最小值为(  )
A.9B.-6C.-9D.6
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设D是不等式组





x+2y≤10
2x+y≥3
0≤x≤4
y≥1
表示的平面区域,则D中的点P(x,y)到直线x+y=10距离的最大值是(  )
A.
8


3
3
B.


2
C.4


2
D.
8


2
3
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已知实数x,y满足





x-y+6≥0
x+y≥0
x≤3.
,若z=ax+y的最大值为3a+9,最小值为3a-3,则实数a的取值范围为(  )
A.[-1,1]B.[-1,2]C.[2,3]D.[-1,3]
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