试题分析:(1)首先对函数求导,然后根据导数的性质,求原函数的单调区间. (2)由题意可知恒成立,根据绝对值的几何意义,分类去掉绝对值符号,然后再根据基本不等式求解即可. (3)设切线与直线的公共点为P(2,t),当时,则,由导数的几何意义可知点A为切点的切线的斜率k=,切线方程为.把点P(2,t)代入切线方程中,整理得,同理可得,设,则原问题等价于函数至少有两个不同的零点.求,利用导数的性质求出函数g(x)的单调区间和极值,欲使至少有两个不同的零点,则需满足极大值g(0)≥0且极小值g(2)≤0,解出t即可. (1)当时,的减区间为; 当时,的减区间为; 当时,无减区间。 4分 (2)由条件得:, 当时,得,即恒成立,因为 (当时等号成立),所以,即; 6分 当时,得,即恒成立,因为,(当时等号成立),所以,即; 当时,; 综上所述,的取值范围是 9分 (3)设切线与直线的公共点为,当时,, 则,因此以点为切点的切线方程为. 因为点在切线上,所以,即. 同理可得方程. 11分 设,则原问题等价于函数至少有两个不同的零点. 因为, 当或时,单调递增,当时,递减。 因此,在处取得极大值,在处取得极小值 若要满足至少有两个不同的零点,则需满足,解得 故存在,且交点纵坐标的最大值为10. |