试题分析:(1)先对求导,分析出导函数是单调递增的,并得.从而得到时,,当时,.即求出函数的单调区间;(2)先由(1)中的单调区间知异号.再证明结论:当时,对任意的有成立;时,对任意的有成立.从而得出当时,有成立.然后在的范围内研究对恒成立问题.通过在求的最值,再由最大值与最小值的差要小于或等于从而得到实数的取值范围. 试题解析:(1), 令,则,从而在上单调递增,即在内单调递增,又, 所以当时,,当时,, 故在上单调递减,在上单调递增. 4分 (2)①由(1)可知,当, 时,必异号,不妨设,. 我们先证明一个结论:当时,对任意的有成立;时,对任意的有成立. 事实上, 构造函数, ,(当且仅当时等号成立).又 当时,,所以在上是单调递减,此时,对任意的有成立.当时,,所以在上是单调递增,此时对任意的有成立; 当时,,由于在上单调递减,所以,.同理,. 当时,当且仅当时,有成立. 8分 ②时,由(1)可得, 又 构造函数,所以在上单调递增,又所以,当时,即, 所以. 因为,若要题设中的不等式恒成立,只需成立即可. 构造函数,所以在上递增. 又所以,由得, 12分 又所以, 因此的取值范围为. 13分 |