试题分析:(1)利用求导的基本思路求解,注意导数的四则运算;(2)利用转化思想将问题转化为总成立,只需时.借助求导,研究的性质,通过对参数k的讨论和单调性的分析探求实数的取值范围;⑶通过构造函数和等价转化思想,将问题转化为,要使在上恒成立,只需.然后利用求导研究函数的最大值,进而证明结论. 试题解析::(1) 由于, 所以. (2分) 当,即时,; 当,即时,. 所以的单调递增区间为, 单调递减区间为. (4分) (2) 令,要使总成立,只需时. 对求导得, 令,则,() 所以在上为增函数,所以. (6分) 对分类讨论: ① 当时,恒成立,所以在上为增函数,所以,即恒成立; ② 当时,在上有实根,因为在上为增函数,所以当时,,所以,不符合题意; ③ 当时,恒成立,所以在上为减函数,则,不符合题意. 综合①②③可得,所求的实数的取值范围是. (9分) (3) 存在正实数使得当时,不等式恒成立. 理由如下:令,要使在上恒成立,只需. (10分) 因为,且,,所以存在正实数,使得, 当时,,在上单调递减,即当时,,所以只需均满足:当时,恒成立. (12分) 注:因为,,所以 |