试题分析:(1)利用求导的基本思路求解,注意导数的四则运算;(2)利用转化思想将问题转化为 总成立,只需 时 .借助求导,研究 的性质,通过对参数k的讨论和单调性的分析探求实数 的取值范围;⑶通过构造函数和等价转化思想,将问题转化为 ,要使 在 上恒成立,只需 .然后利用求导研究函数的最大值,进而证明结论. 试题解析::(1) 由于 , 所以 . (2分) 当 ,即 时, ; 当 ,即 时, . 所以 的单调递增区间为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017130311-87604.png) , 单调递减区间为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017130307-85848.png) . (4分) (2) 令 ,要使 总成立,只需 时 . 对 求导得 , 令 ,则 ,( ) 所以 在 上为增函数,所以 . (6分) 对 分类讨论: ① 当 时, 恒成立,所以 在 上为增函数,所以 ,即 恒成立; ② 当 时, 在上有实根 ,因为 在 上为增函数,所以当 时, ,所以 ,不符合题意; ③ 当 时, 恒成立,所以 在 上为减函数,则 ,不符合题意. 综合①②③可得,所求的实数 的取值范围是 . (9分) (3) 存在正实数 使得当 时,不等式 恒成立. 理由如下:令 ,要使 在 上恒成立,只需 . (10分) 因为 ,且 , ,所以存在正实数 ,使得 , 当 时, , 在 上单调递减,即当 时, ,所以只需 均满足:当 时, 恒成立. (12分) 注:因为 , ,所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191017/20191017130319-75420.png) |