试题分析:(1)设点为直线与曲线的切点,则有. (*) ,. (**) 由(*)、(**)两式,解得,. 2分 由整理,得, ,要使不等式恒成立,必须恒成立. 设,, ,当时,,则是增函数, ,是增函数,,.5分 因此,实数的取值范围是. 6分 (2)当时,, ,在上是增函数,在上的最大值为. 要对内的任意个实数都有 成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值, 当时不等式左边取得最大值,时不等式右边取得最小值. ,解得. 因此,的最大值为. 10分 (3)证明(法一):当时,根据(1)的推导有,时,, 即. 11分 令,得, 化简得, 13分 . 14分 (法二)数学归纳法:当时,左边=,右边=, 根据(1)的推导有,时,,即. 令,得,即. 因此,时不等式成立. 11分 (另解:,,,即.) 假设当时不等式成立,即, 则当时,, 要证时命题成立,即证, 即证. 在不等式中,令,得 . 时命题也成立. 13分 根据数学归纳法,可得不等式对一切成立. 14分 点评:(1)本题主要考查导数的几何意义及其应用和数学归纳法等综合知识,考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识.对学生的能力要求较高,尤其是分析问题解决问题的能力。(2)解决恒成立问题常用变量分离法,变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题, 思路1:在上恒成立;思路2: 在上恒成立。 |