试题分析:(Ⅰ), 过点A(1,0)作曲线C的切线,设切点,则切线方程为: 将代入得: 即(*) ……………………………………………………5分 由条件切线恰有两条,方程(*)恰有两根。 令,,显然有两个极值点x=0与x=1, 于是或 当时,; 当时, ,此时经过(1,0)与条件不符 所以 …………………………………………………………………8分 (Ⅱ)因为存在,使,即 所以存在,使,得,即成立 设,问题转化为的最大值…………………………10分 , ,令得, 当时此时为增函数,当时,此时为减函数, 所以的最大值为 ,的最大值,得 所以在上单调递减, 因此。 ……………………………………………………15分 点评:①求曲线的切线问题常利用导数的几何意义:在切点处的导数值为曲线的切线斜率,但要注意“在某点的切线”与“过某点的切线”的区别。②解决不等式恒成立问题或者存在性问题,常采用分离参数法转化为求函数的最值问题。 |