已知一组曲线中任取的一个数，为1,3,5,7中任取的一个数，从这些曲线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是A．B．C．D．

题型：不详难度：来源：

已知一组曲线中任取的一个数，为1,3,5,7中任取的一个数，从这些曲线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是

A．

B．

C．

D．

答案

A

解析

分析：由题意知，所有抛物线条数是4×4=16条，从16条中任取两条的方法数是C₁₆²=120，其中与直线x=1交点处的切线的斜率为k=a+b，由与切线相互平行，可得斜率相等，讨论a+b的取值，从而可求
解：a为2，4，6，8中任取一数，b为1，3，5，7中任取一数的曲线y=ax³+bx+1，共16条，从这些曲线中任意抽取两条共C₁₆²种
∵y=ax³+bx+1，
∴y′=ax²+b，
∴在与直线x=1交点处的切线的斜率为k=a+b因为切线相互平行，所以斜率相等，即a+b相等，
当a+b=5时，共（2，3），（4，1）两组，
当a+b=7时，共（2，5），（4，3），（6，1）三组，
当a+b=9时，共（2，7），（4，5），（6，3），（8，1）四组，
所以切线平行的曲线共C₂²+C₃²+C₄²，所以其概率为=
故选A