已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x-x2.(1)求函数y=f(x)的解析式.(2)是否存在实数a,b(a≠b),使得y=f(x
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已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x-x2.(1)求函数y=f(x)的解析式.(2)是否存在实数a,b(a≠b),使得y=f(x
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x-x
2
.
(1)求函数y=f(x)的解析式.
(2)是否存在实数a,b(a≠b),使得y=f(x)在x∈[a,b]上的值域为
[
1
b
,
1
a
]
,若存在,求出实数a,b的值; 若不存在,说明理由.
答案
(1)由题意,根据奇函数性质:f(x)=-f(-x)
当x<0时,-x>0,所以当x<0时的解析式为:f(x)=-f(-x)=2x+x
2
∵f(0)=0
∴
f(x)=
2x-
x
2
,x>0.
2x+
x
2
,x≤0.
(2)由
b>a
1
a
>
1
b
⇒ab>0
.
若a>0,b>0.
情形一 a<1<b:f(x)=2x-x
2
的最大值为1.得a=1(舍).
情形二 a<b<1:f(a)<1,f(b)<1且在[a,b]上单调增,又
1
a
>1
(不符)
情形三 1≤a<b:[a,b]上单调减得
f(a)=
1
a
f(b)=
1
b
⇒
a=1
b=
1+
5
2
(符合)
若a<0,b<0,同理可得
a=
-1-
5
2
,b=-1
举一反三
若函数
y=
(2-a)
x
2
+2(2-a)x+4
的定义域为R,则a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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对数函数f(x)=ln|x-a|在[-1,1]区间上恒有意义,则a的取值范围是( )
A.[-1,1]
B.(-∞,-1]∪[1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-∞,0)∪(0,+∞)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x
2
-2ax+5(a>1).
(Ⅰ)当a=2,并且x∈[-3,3]时,求函数f(x)的值域;
(Ⅱ)若f(x)在x∈(1,3)上有两个不同的零点,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数
h(x)=
2x-1
x-1
的值域是(-∞,0]∪[3,+∞),则其定义域是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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函数f(x)=
x+1
+
1
x
的定义域为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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