已知数列{an}中,前n项和为Sn,点(an+1,Sn+1)在直线y=4x-2,其中n=1,2,3…,(Ⅰ)设bn=an+1-2an,且a1=1,求证数列{bn

已知数列{an}中,前n项和为Sn,点(an+1,Sn+1)在直线y=4x-2,其中n=1,2,3…,(Ⅰ)设bn=an+1-2an,且a1=1,求证数列{bn

题型:东城区二模难度:来源:
已知数列{an}中,前n项和为Sn,点(an+1,Sn+1)在直线y=4x-2,其中n=1,2,3…,
(Ⅰ)设bn=an+1-2an,且a1=1,求证数列{bn}是等比数列;
(Ⅱ)令f(x)=b1x+b2x2+…+bnxn,求函数f(x)在点x=1处的导数f′(1)并比较f′(1)与6n2-3n的大小.
答案
(I)由已知点(an+1,Sn+1)在直线y=4x-2上.
∴Sn+1=4(an+1)-2.
即Sn+1=4an+2.(n=1,2,3,)
∴Sn+2=4an+1+2.
两式相减,得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an
即an+2=4an+1-4an.(3分)
an+2-2an+1=2(an+1-2an).
∵bn=an+1-2an,(n=1,2,3,)
∴bn+1=2bn
由S2=a1+a2=4a1+2,a1=1.
解得a2=5,b1=a2-2a1=3.
∴数列{bn}是首项为3,公式为2的等比数列.(6分)
(II)由(I)知bn=3•2n-1
∵f(x)=b1x+b2x2+…+bnxn
∴f′(x)=b1+2b2x+…+nbnxn-1
从而f′(1)=b1+2b2+…+nbn
=3+2•3•2+3•3•22+…+n•3•2n-1
=3(1+2•2+3•22+…+n•3•2n-1)(8分)
设Tn=1+2•2+3•22+…+n•2n-1
2Tn=2+2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+n•2n
两式相减,得-Tn=1+2+22+23+…+2n-1-n•2n
=
1-2n
1-2
-n•2n

∴Tn=(n-1)•2n+1.
∴f′(1)=3(n-1)•2n+3.(11分)
由于f′(1)-(6n2-3n)=3[(n-1)•2n+1-2n2+n]
=3(n-1)[2n-(2n+1)].
设g(n)=f′(1)-(6n2-3n).
当n=1时,g(1)=0,∴f′(1)=6n2-3n;
当n=2时,g(2)=-3<0,∴f′(1)<6n2-3n;
当n≥3时,n-1>0,又2n=(1+1)n=Cn0+Cn1+…+Cnn-1+Cnn≥2n+2>2n+1,
∴(n-1)[2n-(2n+1)]>0,即g(n)>0,从而f′(1)>6n2-3n.(14分)
举一反三
已知f(x)=x2+bx+c为偶函数,曲线y=f(x)过点(2,5),g(x)=(x+a)f(x).
(1)求曲线y=g(x)有斜率为0的切线,求实数a的取值范围;
(2)若当x=-1时函数y=g(x)取得极值,确定y=g(x)的单调区间.
题型:重庆难度:| 查看答案
求曲线y=
1
3
x3+x
在点(1,
4
3
)处的切线与坐标轴围成的三角形面积?
题型:不详难度:| 查看答案
经过曲线f(x)=ax3+bx上一点P(2,2),所作的切线的斜率为9,若y=f(x)得定义域为[-
3
2
,3]
,则该函数的值域为______.
题型:江西模拟难度:| 查看答案
设直线y=-3x+b是曲线y=x3-3x2的一条切线,则实数b的值是______.
题型:南京三模难度:| 查看答案
已知f(x)=alnx+
1
2
x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>2恒成立,则a的取值范围是(  )
A.(0,1]B.(1,+∞)C.(0,1)D.[1,+∞)
题型:海口模拟难度:| 查看答案
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