已知函数f(x)=13x3+12ax2+ax-3在（-∞，+∞）上是单调函数，且当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任一点切线斜率均小于4a，求实数a

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+ax-3在（-∞，+∞）上是单调函数，且当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任一点切线斜率均小于4a，求实数a的取值范围．

答案

∵f（x）在R上是单调函数∴f"（x）≥0或f"（x）≤0在x∈R成立
而f"（x）=x²+ax+a在x∈R上不可能有f"（x）≤0成立，则只有f"（x）≥0，在x∈R成立，
即x²+ax+a≥0在x∈R恒成立．
∴△=a²-4a≤0∴0≤a≤4
又f"（x）=x²+ax+a＜4a即x²+ax-3a＜0在x∈[-1，1]成立，
令g（x）=x²+ax-3a，
由图象知：

g(1)＜0 g(-1)＜0

∴

1-a-3a＜0 1+a-3a＜0

∴a＞

1

2

∴实数a的取值范围是

1

2

＜a≤4