已知函数f(x)=13x3+12ax2+ax-3在(-∞,+∞)上是单调函数,且当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上任一点切线斜率均小于4a,求实数a

已知函数f(x)=13x3+12ax2+ax-3在(-∞,+∞)上是单调函数,且当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上任一点切线斜率均小于4a,求实数a

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2+ax-3
在(-∞,+∞)上是单调函数,且当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上任一点切线斜率均小于4a,求实数a的取值范围.
答案
∵f(x)在R上是单调函数∴f"(x)≥0或f"(x)≤0在x∈R成立
而f"(x)=x2+ax+a在x∈R上不可能有f"(x)≤0成立,则只有f"(x)≥0,在x∈R成立,
即x2+ax+a≥0在x∈R恒成立.
∴△=a2-4a≤0∴0≤a≤4
又f"(x)=x2+ax+a<4a即x2+ax-3a<0在x∈[-1,1]成立,
令g(x)=x2+ax-3a,
由图象知:





g(1)<0
g(-1)<0





1-a-3a<0
1+a-3a<0
∴a>
1
2

∴实数a的取值范围是
1
2
<a≤4
举一反三
已知:在函数f(x)=mx3-x的图象上,以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为
π
4

(1)求m,n的值;
(2)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)≤k-1993对于x∈[-1,3]恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k;如果不存在,请说明理由;
(3)求证:|f(sinx)+f(cosx)|≤2f(t+
1
2t
)
(x∈R,t>0).
题型:不详难度:| 查看答案
已知点P在曲线y=
4


3
ex+1
上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(  )
A.[0,
π
3
B.[
π
3
π
2
)
C.(
π
2
3
]
D.[
3
,π)
题型:不详难度:| 查看答案
设曲线网y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+4y-1=0垂直,则a=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3-px2+qx的图象与x轴切于点(1,0),则p=______,q=______.
题型:不详难度:| 查看答案
设f(x)在点x处可导,a、b为非零常数,则
lim
△x→0
f(x+a△x)-f(x-b△x)
△x
等于(  )
A.f′(x)B.(a-b)f′(x)C.(a+b)f′(x)D.
a+b
2
•f′(x)
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.