已知函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1，常数α为方程f（x）=x的实数根．（Ⅰ）若函数f（x）的定义域为M，对任意[a，b]⊆M，存在x0∈[a

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已知函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1，常数α为方程f（x）=x的实数根．
（Ⅰ）若函数f（x）的定义域为M，对任意[a，b]⊆M，存在x₀∈[a，b]，使等式f（b）-f（a）=（b-a）f′（x₀）成立，求证：方程f（x）=x存在唯一的实数根α；
（Ⅱ） 求证：当x＞α时，总有f（x）＜x成立；
（Ⅲ）对任意x₁、x₂，若满足|x₁-α|＜2，|x₂-α|＜2，求证：|f（x₁）-f（x₂）|＜4．

答案

（I）设f（x）=x有不同于α的实数根β，即f（β）=β，不妨设β＞α，
于是在α与β间必存在c，α＜c＜β，
使得β-α=f（β）-f（α）=（β-α）f′（c）∴f′（c）=1，这与已知矛盾，∴方程f（x）=x存在唯一实数根α．
（II）令g（x）=x-f（x）
∴g′（x）=1-f′（x）＞0
∴g（x）在定义域上为增函数
又g（α）=α-f（α）=0∴当x＞α时，g（x）＞g（α）=0
∴当x＞α时，f（x）＜x、
（III）不妨设x₁＜x₂，∵0＜f′（x）＜1∴f（x）在定义域上为增函数
由（2）知x-f（x） 在定义域上为增函数、∴x₁-f（x₁）＜x₂-f（x₂）
∴0＜f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁
即|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|
∵|x₂-x₁|≤|x₂-α|+|x₁-α|＜4
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜4．