已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率为3，数列{1f(n)}的前n项为Sn则S2011的值为（　　）A．20112012B．20

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已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率为3，数列{1f(n)}的前n项为Sn则S2011的值为（　　）A．20112012B．20

题型：东城区一模难度：来源：
已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率为3，数列{
1
f(n)
}的前n项为Sn则S2011的值为（　　）
A．
2011
2012
B．
2008
2009
C．
2009
2010
D．
2010
2011
答案
∵f′（x）=2x+b，f′（1）=2+b=3，∴b=1，
∴f（x）=x2+x，∴
1
f(n)
=
1
n2+n
=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
，
∴S2011=（1-
1
2
）+（
1
2
-
1
3
）+…+（
1
2011
-
1
2012
）=
2011
2012
，
故选A．
举一反三
设f（x）在x0处有导数，
lim
△x→0
f(x0+2△x)-f(x0)
△x
的值是（　　）
A．2f′（x0）B．-2f′（x0）C．f′（2x0）D．
1
2
f′（x0）
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若
lim
△x→0
f(x0+3△x)-f(x0)
△x
=1，则f"（x0）等于（　　）
A．0B．1C．3D．
1
3
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若f（x），g（x）满足f"（x）=g"（x），则f（x）与g（x）满足（　　）
A．f（x）=g（x）B．f（x）-g（x）为常数
C．f（x）=g（x）=0D．f（x）+g（x）为常数
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已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：
①f（x）的解析式为：f（x）=x3-4x，x∈[-2，2]；　②f（x）的极值点有且仅有一个；  ③f（x）的最大值与最小值之和等于零，则下列选项正确的是（　　）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
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已知f′（x0）=3，
lim
△x→0
f(x0+2△x)-f(x0)
3△x
的值是（　　）
A．3B．2C．
2
3
D．
3
2
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