已知函数f(x)=x3+bx2+ax+d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;(
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已知函数f(x)=x3+bx2+ax+d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0. (Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间. |
答案
(Ⅰ)∵f(x)的图象经过P(0,2),∴d=2, ∴f(x)=x3+bx2+ax+2,f"(x)=3x2+2bx+a. ∵点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0 ∴f"(x)|x=-1=3x2+2bx+a|x=-1=3-2b+a=6①, 还可以得到,f(-1)=y=1,即点M(-1,1)满足f(x)方程,得到-1+b-a+2=1② 由①、②联立得b=a=-3 故所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2. (Ⅱ)f"(x)=3x2-6x-3.,令3x2-6x-3=0,即x2-2x-1=0. 解得x1=1-,x2=1+.当x<1-,或x>1+时,f′(x)>0; 当1-<x<1+时,f′(x)<0. 故f(x)的单调增区间为(-∞,1-),(1+,+∞);单调减区间为(1-,1+) |
举一反三
如图,曲线y=f(x)上任一点P的切线PQ交x轴于Q,过P作PT垂直于x轴于T,若△PTQ的面积为,则y与y"的关系满足( )A.y=y′ | B.y=-y′ | C.y=y′2 | D.y2=y′ |
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曲线y=x4上某点切线的斜率等于4,则此点坐标为( )A.(1,1)和(-1,1) | B.(1,1) | C.(-1,1)和(-1,-1) | D.(-1,-1) |
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一个物体的运动方程为s=1-t+t2其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是( ) |
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