已知函数f(x)=px--2lnx。(1)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线;(2)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围。

已知函数f(x)=px--2lnx。(1)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线;(2)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围。

题型:月考题难度:来源:
已知函数f(x)=px--2lnx。
(1)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线;
(2)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围。
答案
解:(1)当p=2时,函数
f(1)=2-2-2ln1=0,f′(x)=
曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=2+2-2=2
从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=2(x-1),
即y=2x-2。
(2)
令h(x)=px2-2x+p,要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,
只需h(x)≥0在(0,+∞)内恒成立,
由题意p>0,h(x)=px2-2x+p的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为

只需
即p≥1时,h(x)≥0,f′(x)≥0,
∴f(x)在(0,+∞)内为增函数,正实数p的取值范围是[1,+∞)。
举一反三
已知函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a,b∈R。
(1)设两曲线y=f(x)与y=g(x)有公共点,且在公共点处的切线相同,若a>0,试建立b关于a的函数关系式,并求b的最大值;
(2)若b=0时,函数h(x)=f(x)+g(x)-(2a+6)x在(0,4)上为单调函数,求a的取值范围。
题型:模拟题难度:| 查看答案
如果f′(x)是二次函数,且f′(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,),那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是  [     ]
A.
B.
C.
D.
题型:辽宁省月考题难度:| 查看答案
已知过点(1,1)的直线l与曲线y=x3相切,求直线l的方程。
题型:广东省模拟题难度:| 查看答案
已知函数f (x )=ex+
(Ⅰ)当时,求函数f(x)在x=0处的切线方程;
(Ⅱ)函数f(x)是否存在零点,若存在,求出零点的个数;若不存在,说明理由。
题型:河北省模拟题难度:| 查看答案
曲线y=ax3+bx-1在点(1,f(1))处的切线方程为y=x,则b-a=[     ]
A.-3  
B.2
C.3
D.4
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