解:(Ⅰ)当a=1时,函数, f(1)=1-1-ln1=0, f′(x)=, 曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=1+1-1=1, 从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=x-1,即y=x-1; (Ⅱ)f′(x)=, 要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,只需f′(x)≥0在(0,+∞)内恒成立, 即ax2-x+a≥0,得恒成立, 由于, ∴,∴, ∴f(x)在(0,+∞)内为增函数,实数a的取值范围是; (Ⅲ)∵在[1,e]上是减函数, ∴x=e时,g(x)min=1;x=1时,g(x)max=e,即 g(x)∈[1,e], f′(x)=,令h(x)=ax2-x+a, 当时,由(Ⅱ)知f(x)在[1,e]上是增函数,f(1)=0<1, 又g(x)在[1,e]上是减函数, 故只需f(x)max≥g(x)min,x∈[1,e], 而,g(x)min=1, 即,解得, 所以实数a的取值范围是。 |