已知b>-1,c>0,函数f(x)=x+b的图象与函数g(x)=x2+bx+c 的图象相切,(Ⅰ)求b与c的关系式(用c表示b);(Ⅱ)设函数F(x)=f(x)
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已知b>-1,c>0,函数f(x)=x+b的图象与函数g(x)=x2+bx+c 的图象相切,(Ⅰ)求b与c的关系式(用c表示b);(Ⅱ)设函数F(x)=f(x)
题型:湖北省高考真题
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已知b>-1,c>0,函数f(x)=x+b的图象与函数g(x)=x
2
+bx+c 的图象相切,
(Ⅰ)求b与c的关系式(用c表示b);
(Ⅱ)设函数F(x)=f(x)g(x)在(-∞,+∞)内有极值点,求c的取值范围。
答案
解:(Ⅰ)依题意,令f′(x)=g′(x),得2x+b=1,故
,
由于
,得
,
∵b>-1,c>0,
∴
。
(Ⅱ)
,
,
令F′(x)=0,即
,
则
,
若△=0,则F′(x)=0有一个实根x,且F′(x)的变化如下:
于是
不是函数F(x)的极值点;
若△>0,则F′(x)=0有两个不相等的实根
,且F′(x)的变化如下:
由此,
是函数F(x)的极大值点,
是函数F(x)的极小值点,
综上所述,当且仅当△=0时,函数F(x)在(-∞,+∞)内有极值点,
由
得
,
∵
,
∴
,解之得
,
故所求c的取值范围是
。
举一反三
曲线y=x
3
-3x
2
+1在点(1,-1)处的切线方程为
[ ]
A、y=3x-4
B、y=-3x+2
C、y=-4x+3
D、y=4x-5
题型:高考真题
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已知曲线
,则过点P(2,4)的切线方程是( )。
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在函数y=x
3
-8x的图象上,其切线的倾斜角小于
的点中,坐标为整数的点的个数是
[ ]
A.3
B.2
C.1
D.0
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已知直线l
1
为曲线y=x
2
+x-2在点(1,0)处的切线,l
2
为该曲线的另一条切线,且l
1
⊥l
2
,
(Ⅰ)求直线l
2
的方程;
(Ⅱ)求由直线l
1
、l
2
和x轴所围成的三角形的面积。
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曲线
与
在交点处切线的夹角是( )。(用幅度数作答)
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