已知函数f(x)=x2-1与函数g(x)=alnx(a≠0), (Ⅰ)若f(x),g(x)的图象在点(1,0)处有公共的切线,求实数a的值; (Ⅱ)设F(x)=
题型:专项题难度:来源:
已知函数f(x)=x2-1与函数g(x)=alnx(a≠0), (Ⅰ)若f(x),g(x)的图象在点(1,0)处有公共的切线,求实数a的值; (Ⅱ)设F(x)=f(x)-2g(x),求函数F(x)的极值. |
答案
解:(Ⅰ)因为f(1)=0,g(1)=0, 所以点(1,0)同时在函数f(x),g(x)的图象上, 因为f(x)=x2-1,g(x)=alnx,f′(x)=2x,g′(x)=, 由已知,得f′(1)=g′(1),所以,即a=2. (Ⅱ)因为F(x)=f(x)-2g(x)=x2-1-2alnx(x>0), 所以F′(x)=, 当a<0时,因为x>0,且x2-a>0,所以F′(x)>0对x>0恒成立, 所以F(x)在(0,+∞)上单调递增,F(x)无极值; 当a>0时,令F′(x)=0,解得(舍), 所以当x>0时,F′(x),F(x)的变化情况如下表:
所以当时,F(x)取得极小值,且; 综上,当a<0时,函数F(x)在(0,+∞)上无极值;当a>0时,函数F(x)在处取得极小值a-1-alna。 |
举一反三
最新试题
热门考点