函数f(x)=ax3-6ax2+3bx+b,其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0。(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数y=f(x)的图象与y=f

函数f(x)=ax3-6ax2+3bx+b,其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0。(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数y=f(x)的图象与y=f

题型:0120 模拟题难度:来源:
函数f(x)=ax3-6ax2+3bx+b,其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0。
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数y=f(x)的图象与y=f′(x)+5x+m的图象有三个不同的交点,求实数m的取值范围;
(3)是否存在点P,使得过点P的直线若能与曲线y=f(x)围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积相等?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由。
答案

解:(1)由题意得


解得,b=3

(2)由可得


则由题意可得有三个不相等的实根,
的图象与x轴有三个不同的交点,
,则g(x),g′(x)的变化情况如下表:

则函数f(x)的极大值为
极小值为
的图象与的图象有三个不同交点,则有:

解得
(3)存在点P满足条件



时,
时,
时,
可知极值点为
线段AB中点在曲线上,
且该曲线关于点成中心对称
证明如下:∵



上式表明,若点为曲线上任一点,其关于的对称点也在曲线上,曲线关于点对称
故存在点,使得过该点的直线若能与曲线围成两个封闭图形,这两个封闭图形的面积相等。

举一反三
已知函数f(x)=2x3-x2+m(m为常数)图象上A点处的切线与直线x-y+3=0的夹角45°,则点A的横坐标为 [     ]
A.0
B.1
C.0或
D.1或
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设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x的导函数是f′(x),且f′(x)是奇函数,若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为[     ]
A.
B.-ln2
C.ln2
D.
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已知抛物线C:y=2x2,直线y=kx+2交C于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交C于点N, (Ⅰ)证明:抛物线C在点N处的切线与AB平行;
(Ⅱ)若,求k的值。
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已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R)。
(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<f(x2),求a的取值范围。
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已知函数f(x)=x3-x,
(1)设M(λ0,f(λ0))是函数图象上的一点,求点M处的切线方程;
(2)证明过点N(2,1)可以作曲线f(x)=x3-x的三条切线。
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