已知函数f（x）=ax2-（2a+1）x+2lnx（a∈R）。（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（2）求f（x）的单调区间；（

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已知函数f（x）=ax²-（2a+1）x+2lnx（a∈R）。
（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）设g（x）=x²-2x，若对任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜f（x₂），求a的取值范围。

答案

解：（x＞0）
（1）
解得；
（2）
①当时，，
在区间上，；
在区间上
故的单调递增区间是，
单调递减区间是
②当时，
在区间和上，；
在区间上，
故的单调递增区间是和
单调递减区间是
③当时，
故的单调递增区间是
④当时，
在区间和上，
在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是；
（3）由已知，在上有
由已知，由（2）知
①当时，在上单调递增
故
所以
解得
故
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故
由可知
，
所以，
综上所述，。