已知函数f(x)=x3-x, (1)设M(λ0,f(λ0))是函数图象上的一点,求点M处的切线方程; (2)证明过点N(2,1)可以作曲线f(x)=x3-x的三
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已知函数f(x)=x3-x, (1)设M(λ0,f(λ0))是函数图象上的一点,求点M处的切线方程; (2)证明过点N(2,1)可以作曲线f(x)=x3-x的三条切线。 |
答案
(1)解:, 过点的切线斜率为, 切线方程为, 即; (2)证明:由(1)知曲线上点处的切线为, 若切线过点N(2,1),则,即, 若过N有三条切线等价于方程有三个不同的解, 设,, 随λ变化如下表:
g(λ)在R上只有一个极大值和一个极小值,, ∴g(λ)=0有3个不同解,即方程有3个不同解, 即过点N可以作曲线的三条切线。 |
举一反三
若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值,且函数f(x)图像上以点A(3,f(3))为切点的切线与直线5x-y+1=0平行。 (1)求函数f(x)的解析式; (2)以点A(3,f(3))为切点的切线方程; (3)若方程f(x)=k有3个解,求实数k的取值范围。 |
若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为 |
[ ] |
A.(1,3) B.(-1,3) C.(- 1,0) D.(1,0) |
曲线f(x)=在点(0,f(0))处的切线与圆C:(x-t)2+(y-t-1)2=1的位置关系为 |
[ ] |
A.相离 B.相切 C.相交 D.与t的取值有关 |
设f(x)=(sinx+cosx)ex+m, (1)当m=0时,求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)若对于任意x∈[0,π],都有f(x)≥0,求m的取值范围. |
已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2+a(a为常数),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且l与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1。 (1)求直线l的方程及a的值; (2)当k>0时,试讨论方程f(1-x2)-g(x)=k的解的个数。 |
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