解:(1)![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018011300-11468.gif) 由已知得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018011300-22695.gif) 解得 ,x=e2 ∴两条曲线交点的坐标为(e2,e) 切线的斜率为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018011301-65651.gif) ∴切线的方程为 。 (2)由条件知![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018011301-74657.gif) ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018011301-99428.gif) (i)当a>0时,令h"(x)=0,解得x=4a2 ∴当0<x<4a2时,h"(x)<0,h(x)在(0,4a2)上递减 当x>4a2时,h"(x)>0,h(x)在(4a2,+∞)上递增 ∴x=4a2是h(x)在(0,+∞)上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是h(x)的最小值点 ∴最小值φ(a)= h(4a2)=2a-aln4a2=2a(1-ln2a)。 (ii)当a≤0时,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018011301-82970.gif) h(x)在(0,+∞)上递增,无最小值。 故h(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)= 2a(1-ln2a)(a >0)。 (3)由(2)知φ"(a)=-21n2a,对任意的a>0,b>0
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018011302-71840.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018011302-19402.gif)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018011302-37595.gif) 故由①②③得
。 |