解:(Ⅰ), 由已知得,解得, ∴两条曲线交点的坐标为(e2,e), 切线的斜率为, ∴切线的方程为y-e=(x-e2)。 (Ⅱ)由条件知, ∴, (i)当a>0时,令h′(x)=0,解得x=4a2, ∴当0<x<4a2时,h′(x)<0,h(x)在(0,4a2)上递减; 当x>4a2时,h′(x)>0,h(x)在(4a2,+∞)上递增, ∴x=4a2是h(x)在(0,+∞)上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是h(x)的最小值点, ∴最小值ψ(a)=h(4a2)=2a-aln4a2=2a(1-ln2a); (ii)当a≤0时,,h(x)在(0,+∞)上递增,无最小值, 故h(x)的最小值ψ(a)的解析式为ψ(a)=2a(1-ln 2a)(a>0). (Ⅲ)由(Ⅱ)知ψ(a)=2a(1-ln 2-lna), 则, 令ψ′(a)=0,解得, 当时,ψ′(a)>0,∴ψ(a)在上递增; 当时,ψ′(a)<0,∴ψ(a)在上递减, ∴ψ(a)在处取得最大值。 ∵ψ(a)在(0,+∞)上有且只有一个极值点,所以也是ψ(a)的最大值, ∴当a∈(0,+∞)时,总有ψ(a)≤1. |