已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)(a,b∈R,a<b), (Ⅰ)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)设x1,
题型:浙江省高考真题难度:来源:
已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)(a,b∈R,a<b), (Ⅰ)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个极值点,x3是f(x)的一个零点,且x3≠x1,x3≠x2,证明:存在实数x4,使得x1,x2,x3,x4按某种顺序排列后构成等差数列,并求x4。 |
答案
解:(Ⅰ)当a=1,b=2时,因为f′(x)=(x-1)(3x-5), 故f′(2)=1, 又f(2)=0, 所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x-2. (Ⅱ)证明:因为, 由于a<b,故, 所以f(x)的两个极值点为, 不妨设, 因为x3≠x1,x3≠x2,且x3是f(x)的零点,故x3=6, 又因为,, 此时依次成等差数列, 所以存在实数x4满足题意,且。 |
举一反三
设函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0), (Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值点. |
已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R), (Ⅰ)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值; (Ⅱ)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围。 |
已知点P在曲线上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是 |
[ ] |
A. B. C. D. |
曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 |
[ ] |
A.30° B.45° C.60° D.120° |
设直线y=x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则实数b的值为( )。 |
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