已知函数,.(1)求函数的极值;(2)若恒成立,求实数的值;(3)设有两个极值点、(),求实数的取值范围,并证明.
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已知函数,.(1)求函数的极值;(2)若恒成立,求实数的值;(3)设有两个极值点、(),求实数的取值范围,并证明.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
,
.
(1)求函数
的极值;(2)若
恒成立,求实数
的值;
(3)设
有两个极值点
、
(
),求实数
的取值范围,并证明
.
答案
(1)
;(2)
;(3) 见解析。
解析
试题分析:(1)先求
的定义域,然后对
求导,令
寻找极值点,从而求出
极值;(2)构造函数
,又
,则只需
恒成立,再证
在
处取到最小值即可;(3)
有两个极值点等价于方程
在
上有两个不等的正根,由此可得
的取值范围,
,由根与系数可知
及
范围为
,代入上式得
,利用导函数求
的最小值即可。
试题解析:(1)
的定义域是
,
.
,故当x=1时,G(x)的极小值为0.
(2)令
,则
,
所以
,即
恒成立的必要条件是
,
又
,由
得:
.
当
时,由
知
,
故
,即
恒成立.
(3)由
,得
.
有两个极值点
、
等价于方程
在
上有两个不等的正根,
即:
, 解得
.
由
,得
,其中
.
所以
.
设
,得
,
所以
,即
.
举一反三
已知函数
,
是它的导函数,则
。
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,
。
(1)求函数
在
上的值域;
(2)若
,对
,
恒成立,
求实数
的取值范围
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知函数
.
(1)若
在
处取得极值,求
的单调递增区间;
(2)若
在区间
内有极大值和极小值,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
在
处的切线方程为
.
(1)求函数
的解析式;
(2)若关于
的方程
恰有两个不同的实根,求实数
的值;
(3)数列
满足
,
,求
的整数部分.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,
(
).
(1)若x=3是
的极值点,求
在
[1,a]上的最小值和最大值;
(2)若
在
时是增函数,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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