试题分析:(1) ,由导数的几何意义得 ,故切线方程为 ,将点 代入求 ;(2)曲线 与直线 只有一个交点转化为函数 有且只有零点.一般思路往往利用导数求函数的单调区间和极值点,从而判断函数大致图象,再说明与 轴只有一个交点.本题首先入手点为 ,当 时, ,且 , ,所以 在 有唯一实根.只需说明当 时无根即可,因为 ,故只需说明 ,进而转化为求函数 的最小值问题处理. (1) , .曲线 在点 处的切线方程为 .由题设得, ,所以 . (2)由(1)得, .设 .由题设得 .当 时, , 单调递增, , ,所以 在 有唯一实根.当 时,令 ,则 .![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018015944-35405.png) , 在 单调递减;在 单调递增.所以 .所以 在 没有实根,综上, 在 上有唯一实根,即曲线 与直线 只有一个交点. |