试题分析:(Ⅰ)先对f(x)求导,f(x)的导数为二次函数,由对称性可求得a,再由f′(1)=0即可求出b (Ⅱ)对f(x)求导,分别令f′(x)大于0和小于0,即可解出f(x)的单调区间,继而确定极值. 解:(Ⅰ)因f(x)=2x3+ax2+bx+1,故f′(x)=6x2+2ax+b 从而f′(x)=6y=f′(x)关于直线x=﹣对称, 从而由条件可知﹣=﹣,解得a=3 又由于f′(x)=0,即6+2a+b=0,解得b=﹣12 (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2x3+3x2﹣12x+1 f′(x)=6x2+6x﹣12=6(x﹣1)(x+2) 令f′(x)=0,得x=1或x=﹣2 当x∈(﹣∞,﹣2)时,f′(x)>0,f(x)在(﹣∞,﹣2)上是增函数; 当x∈(﹣2,1)时,f′(x)<0,f(x)在(﹣2,1)上是减函数; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上是增函数. 从而f(x)在x=﹣2处取到极大值f(﹣2)=21,在x=1处取到极小值f(1)=﹣6. 点评:本题考查函数的对称性、函数的单调区间和极值,考查运算能力. |