已知函数(其中),为f(x)的导函数.(1)求证:曲线y=在点(1,)处的切线不过点(2,0);(2)若在区间中存在,使得,求的取值范围;(3)若,试证明:对任

已知函数(其中),为f(x)的导函数.(1)求证:曲线y=在点(1,)处的切线不过点(2,0);(2)若在区间中存在,使得,求的取值范围;(3)若,试证明:对任

题型:不详难度:来源:
已知函数(其中),为f(x)的导函数.
(1)求证:曲线y=在点(1,)处的切线不过点(2,0);
(2)若在区间中存在,使得,求的取值范围;
(3)若,试证明:对任意恒成立.
答案
(1)参考解析;(2); (3)参考解析
解析

试题分析:(1)由函数(其中),求出,由于求y=在点(1,)处的切线方程,由点斜式可得结论.
(2)由,再利用分离变量即可得到.在再研究函数的单调性即可得到结论.
(3)由可得.需证任意恒成立,等价证明.然后研究函数,通过求导求出函数的最大值.研究函数,通过求导得出函数的.再根据不等式的传递性可得结论.
(1)由
所以曲线y=在点(1,)处的切线斜率为
曲线y=切线方程为
假设切线过点(2,0),代入上式得:,得到0=1产生矛盾,所以假设错误,
故曲线y=在点(1,)处的切线不过点(2,0)   4分
(2)由
,所以在(0,1]上单调递减,故    7分
(3)令,当=1时,,所以..
因此,对任意等价于.    9分
.所以.
因此,当时,单调递增;时,单调递减.
所以的最大值为,故.            12分
,所以单调递增,
时,,即.
所以.
因此,对任意恒成立         14分
举一反三
已知,现给出如下结论:
;②;③;④;;
的极值为1和3.其中正确命题的序号为                .
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数.
(1)若当时,函数的最大值为,求的值;
(2)设为函数的导函数),若函数上是单调函数,求的取值范围.
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已知函数,其中.
(1)讨论的单调性;
(2) 若不等式恒成立,求实数取值范围;
(3)若方程存在两个异号实根,求证:
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已知函数
(1)若的极大值为,求实数的值;
(2)若对任意,都有恒成立,求实数的取值范围;
(3)若函数f(x)满足:在定义域内存在实数x0,使f(x0+k)= f(x0)+ f(k)(k为常数),则称“f(x)关于k可线性分解”. 设,若关于实数a 可线性分解,求取值范围.
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已知函数.
(1)求函数的最小值;
(2)若,证明:当时,.
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