已知函数.(1)讨论函数在上的单调性;(2)当时,曲线上总存在相异两点,,,使得曲线在、处的切线互相平行,求证:.
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已知函数.(1)讨论函数在上的单调性;(2)当时,曲线上总存在相异两点,,,使得曲线在、处的切线互相平行,求证:.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
.
(1)讨论函数
在
上的单调性;
(2)当
时,曲线
上总存在相异两点,
,
,使得
曲线在
、
处的切线互相平行,求证:
.
答案
(1)讨论函数的单调性,我们可先求其导数
,则不等式
的解集区间就是函数的单调增区间,不等式
的解集区间就是函数的单调减区间;(2)题设问题实际上就是已知
时
,由(1)知
化简变形得
,要证明的是
,利用基本不等式
,这样有
,故
小于
的最小值,而
在
上是增函数(可用导数或用增函数的定义证明),于是有
,从而
,解得
.
解析
试题分析:
(1)函数
的定义域为
.
,
令
,解得
或
.
∵
,∴
, ∴当
时,
;当
时,
.
故
在
上单调递减,在
上单调递增. 6分
(2)由题意得,当
时,
且
)
即
∴
.
整理得
令
所以
在
上单调递减,所以
在
上的最大值为
12分
举一反三
已知函数
(
) =
,g (
)=
+
。
(1)求函数h (
)=
(
)-g (
)的零点个数,并说明理由;
(2)设数列
满足
,
,证明:存在常数M,使得对于任意的
,都有
≤
.
题型:不详
难度:
|
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设函数
定义在
上,
,导函数
,
.
(1)求
的单调区间和最小值;
(2)讨论
与
的大小关系;
(3)是否存在
,使得
对任意
成立?若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,曲线
在点
处的切线方程为
。
(1)求
、
的值;
(2)如果当
,且
时,
,求
的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e
x
)=x+e
x
,则
=__________.
题型:不详
难度:
|
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2
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2
时,有
.
题型:不详
难度:
|
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