已知函数．（1）讨论f(x)在区间（0，1）上的单调性；（2）当a∈[3，+∞)时，曲线上总存在相异的两点，使得曲线在点P，Q处的切线互相平行，求证：．

题型：不详难度：来源：

已知函数．
（1）讨论f(x)在区间（0，1）上的单调性；
（2）当a∈[3，+∞)时，曲线上总存在相异的两点，使得曲线在点P，Q处的切线互相平行，求证：．

答案

(1)见解析；
(2)见解析；

解析

（1）由已知，
由得．
因为，所以，且所以在区间上;在区间上，
故在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：由题意可得，当a∈[3，+∞)时，(，且)即因为，且，所以恒成立．
又，所以．
整理得，a∈[3，+∞)
令，因为a∈[3，+∞)
所以在[3，+∞)上单调递减，即在[3，+∞)上的最大值为，所以．