已知函数,.(1)若函数在处取得极值,求的值;(2)若函数的图象上存在两点关于原点对称,求的范围.

已知函数,.(1)若函数在处取得极值,求的值;(2)若函数的图象上存在两点关于原点对称,求的范围.

题型:不详难度:来源:
已知函数
(1)若函数处取得极值,求的值;
(2)若函数的图象上存在两点关于原点对称,求的范围.
答案
(1);(2).
解析

试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力和函数思想.第一问,由于处取得极值,所以的根,所以对求导,解,得出a的值,但是需要验证是否符合题意;第二问,先将“的图象上存在两点关于原点对称”转化为“存在图象上一点,使得的图象上”,即转化为“同时成立”,联立消参,即转化为“,即关于的方程在内有解”,下面证明有交点.
试题解析:(1)当时,   2分
处取得极值
,即
解得:,经验证满足题意,∴.            5分
的图象上存在两点关于原点对称,
即存在图象上一点
使得的图象上
则有 
                         8分
化简得:,即关于的方程在内有解                   9分
,则

∴当时,;当时,
上为减函数,在上为增函数
,且时,时,
值域为                                             11分
时,方程内有解
时,的图象上存在两点关于原点对称.   12分
举一反三
已知函数
(1)若,讨论函数在区间上的单调性;
(2)若且对任意的,都有恒成立,求实数的取值范围.
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函数处有极值,则的值为(   ).
A.B.C.D.

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已知函数.
(1)试判断函数的单调性;  
(2)设,求上的最大值;
(3)试证明:对任意,不等式都成立(其中是自然对数的底数).
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已知函数
(1)若方程内有两个不等的实根,求实数m的取值范围;(e为自然对数的底数)
(2)如果函数的图象与x轴交于两点.求证:(其中正常数).
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已知函数()
(1)若在点处的切线方程为,求的解析式及单调递减区间;
(2)若上存在极值点,求实数的取值范围.
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