试题分析:(1)解法1是将函数在其定义域上为增函数等价转化为不等式在区间上恒成立,利用参数分离法得到不等式在上恒成立,并利用基本不等式求出的最小值,从而求出的取值范围;解法2是求得导数,将问题等价转化为不等式在上恒成立,结合二次函数零点分布的知识求出的取值范围;(2)先将代入函数的解析式并求出的导数,构造新函数,利用导数研究函数的单调性,结合零点存在定理找出函数的极值点所存在的区间,结合条件确定的最大值. 试题解析:(1)解法1:函数的定义域为, ,. 函数在上单调递增, ,即对都成立. 对都成立. 当时,,当且仅当,即时,取等号. ,即,的取值范围为. 解法2:函数的定义域为, ,. 方程的判别式. ①当,即时,, 此时,对都成立, 故函数在定义域上是增函数. ②当,即或时,要使函数在定义域上为增函数, 只需对都成立. 设,则,得. 故. 综合①②得的取值范围为; (2)当时,. . 函数在上存在极值, ∴方程在上有解, 即方程在上有解. 令,由于,则, 函数在上单调递减. , , 函数的零点. 方程在上有解,,. ,的最大值为. |