设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数,.(1)求的单调区间和最小值;(2)讨论与的大小关系;(3)是否存在x0>0,使得|g(x)﹣g(x0
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设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数,.(1)求的单调区间和最小值;(2)讨论与的大小关系;(3)是否存在x0>0,使得|g(x)﹣g(x0
题型:不详
难度:
来源:
设函数
f
(
x
)定义在(0,+∞)上,
f
(1)=0,导函数
,
.
(1)求
的单调区间和最小值;
(2)讨论
与
的大小关系;
(3)是否存在
x
0
>0,使得|
g
(
x
)﹣
g
(
x
0
)|<
对任意
x
>0成立?若存在,求出
x
0
的取值范围;若不存在请说明理由.
答案
(1)
g
(
x
)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞),最小值为
;(2)当0<
x
<1时,
;当
x
>1时,
;(3)满足条件的
x
0
不存在.证明详见解析.
解析
试题分析:(1)由题设得
,求导,根据导数的符号即可确定
g
(
x
)的单调区间,进而求出其最小值;(2)为了确定
与
的大小关系,便作差判断其符号.设
,则
,因此
在
内单调递减.接下来就确定函数
的零点.易知
h
(1)=0,即
;所以当0<
x
<1,时,
h
(
x
)>
h
(1)=0,即
,当
x
>1,时,
h
(
x
)<
h
(1)=0,即
;(3)根据(1)题的结果可作出
的大致图象;再作出
的图象,结合图象可看出,不论
取多少,当
的值充分大时,必有
,所以满足条件的
x
0
不存在.接下来就是想方设法找出一个
,使得
.为了更容易地找出这样的
,我们将
变形为
,对左边的不等式
,易看出当
时便不成立.从而问题得证.
试题解析:(1)由题设易知
,
∴
,令
,得
,
当
x
∈(0,1)时,
g
′(
x
)<0,故
g
(
x
)的单调递减区间是(0,1),
当
x
∈(1,+∞)时,
g
′(
x
)>0,故
g
(
x
)的单调递增区间是(1,+∞),
因此
是
的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,
∴最小值为
;
(2)
,
设
,
则
,
当
x
=1时,
h
(1)=0,即
,
当
x
∈(0,1)∪(1,+∞)时,
h
′(
x
)<0,
h
′(1)=0,
因此,
h
(
x
)在
内单调递减,
当0<
x
<1,时,
h
(
x
)>
h
(1)=0,即
,
当
x
>1,时,
h
(
x
)<
h
(1)=0,即
,
(3)满足条件的
x
0
不存在.证明如下:假设存在
x
0
>0,
使
成立,即对任意
x
>0,
有
,(*)
但对上述
x
0
,取
时,
有
,这与(*)左边不等式矛盾,
因此,不存在
x
0
>0,使
成立.
举一反三
已知函数
(
,
为自然对数的底数).
(1)若曲线
在点
处的切线平行于
轴,求
的值;
(2)求函数
的极值;
(3)当
的值时,若直线
与曲线
没有公共点,求
的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,
(
)
(1)对于函数
中的任意实数x,在
上总存在实数
,使得
成立,求实数
的取值范围
(2)设函数
,当
在区间
内变化时,
(1)求函数
的取值范围;
(2)若函数
有零点,求实数m的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,
(
).
(1)试讨论函数
的单调性;
(2)设函数
,
,当函数
有零点时,求实数
的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,
.
(1)若函数
在其定义域上为增函数,求
的取值范围;
(2)当
时,函数
在区间
上存在极值,求
的最大值.
(参考数值:自然对数的底数
≈
).
题型:不详
难度:
|
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已知函数
.
(1)求函数
的单调区间;
(2)证明:对任意的
,存在唯一的
,使
;
(3)设(2)中所确定的
关于
的函数为
,证明:当
时,有
.
题型:不详
难度:
|
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