试题分析:(1)当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f′(x)=-1+ 由0<x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0. 知f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,从而=f(1)=-1. (2)利用导数确定函数的最大值得,=f=-1+ln 由-1+ln=-3,即得a=. (3)由(1)知当a=-1时=f(1)=-1,可知|f(x)|≥1; 应用导数研究g(x)=,得到=g(e)=<1,即g(x)<1, 根据|f(x)|>g(x),即|f(x)|>知方程|f(x)|=没有实数解. 试题解析:(1)当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f′(x)=-1+ 当0<x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0. ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,=f(1)=-14分 (2)∵f′(x)=a+,x∈(0,e],∈ ①若a≥,则f′(x)≥0,f(x)在(0,e]上增函数 ∴=f(e)=ae+1≥0.不合题意 5分 ②若a<,则由f′(x)>0>0,即0<x< 由f(x)<0<0,即<x≤e.从而f(x)在上增函数,在为减函数 ∴=f=-1+ln 令-1+ln=-3,则ln=-2∴=,即a=. ∵<, ∴a=为所求 8分 (3)由(1)知当a=-1时=f(1)=-1, ∴|f(x)|≥1 又令g(x)=,g′(x)=,令g′(x)=0,得x=e, 当0<x<e时,g′(x)>0,g(x)在(0,e)单调递增;当x>e时,g′(x)<0,g(x)在(e,+∞)单调递减∴=g(e)=<1,∴g(x)<1 ∴|f(x)|>g(x),即|f(x)|>∴方程|f(x)|=没有实数解. 12分 |