已知函数.⑴求函数在处的切线方程；⑵当时，求证：；⑶若，且对任意恒成立，求k的最大值.

题型：不详难度：来源：

已知函数.
⑴求函数在处的切线方程；
⑵当时，求证：；
⑶若，且对任意恒成立，求k的最大值.

答案

⑴；⑵详见解析；⑶的最大值是3.

解析

试题分析：⑴曲线在点处的切线方程为：，所以求出导数及切点即得切线方程；⑵不失一般性，左右两边作差得：，接下来用重要不等式比较真数的大小即可.⑶首先分离参数.由于，所以可变为.令，则，注意到，则取最大整数即可.接下来就利用导数求则的最小值.
试题解析：⑴
∴故切线斜率
∴所切线方程：.              .3分
⑵由题可知：


∵
∴
∴.   8分
⑶令
令在上单调递增.
∵
∴所以存在唯一零点，即.
当时，；
当时，；
∴在时单调递减；在时，单调递增；
∴
由题意，又因为，所以的最大值是3.      14分