已知函数f(x)=ax2-ln x,x∈(0,e],其中e是自然对数的底数,a∈R.(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间与极值;(2)是否存在实数a,使f
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已知函数f(x)=ax2-ln x,x∈(0,e],其中e是自然对数的底数,a∈R.(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间与极值;(2)是否存在实数a,使f
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f
(
x
)=
ax
2
-ln
x
,
x
∈(0,e],其中e是自然对数的底数,
a
∈R.
(1)当
a
=1时,求函数
f
(
x
)的单调区间与极值;
(2)是否存在实数
a
,使
f
(
x
)的最小值是3?若存在,求出
a
的值;若不存在,说明理由.
答案
(1)
f
(
x
)的单调增区间是
,单调减区间为
,极小值为
+
ln 2.无极大值(2)
a
=
解析
(1)∵
f
(
x
)=
x
2
-ln
x
,
f
′(
x
)=2
x
-
=
,
x
∈(0,e],
令
f
′(
x
)>0,得
<
x
<e,
f
′(
x
)<0,得0<
x
<
,
∴
f
(
x
)的单调增区间是
,单调减区间为
.
∴
f
(
x
)的极小值为
f
=
-ln
=
+
ln 2.无极大值.
(2)假设存在实数
a
,使
f
(
x
)=
ax
2
-ln
x
,
x
∈(0,e]有最小值3,
f
′(
x
)=2
ax
-
=
.
①当
a
≤0时,
x
∈(0,e],所以
f
′(
x
)<0,所以
f
(
x
)在(0,e]上单调递减,
∴
f
(
x
)
min
=
f
(e)=
a
e
2
-1=3,
a
=
(舍去).
②当
a
>0时,令
f
′(
x
)=0,得
x
=
,
(ⅰ)当0<
<e,即
a
>
时,
f
(
x
)在
上单调递减,在
上单调递增,
∴
f
(
x
)
min
=
f
=
-ln
=3,得
a
=
.
(ⅱ)当
≥e,即0<
a
≤
时,
x
∈(0,e]时,
f
′(
x
)<0,
所以
f
(
x
)在(0,e]上单调递减,
∴
f
(
x
)
min
=
f
(e)=
a
e
2
-1=3,
a
=
(舍去),此时
f
(
x
)无最小值.
综上,存在实数
a
=
,使得当
x
∈(0,e]时,
f
(
x
)有最小值3.
举一反三
已知函数
在
处取得极小值.
(1)若函数
的极小值是
,求
;
(2)若函数
的极小值不小于
,问:是否存在实数
,使得函数
在
上单调递减?若存在,求出
的范围;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,(
>0,
,以点
为切点作函数
图象的切线
,记函数
图象与三条直线
所围成的区域面积为
.
(1)求
;
(2)求证:
<
;
(3)设
为数列
的前
项和,求证:
<
.来
题型:不详
难度:
|
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已知函数
.
(1)求证:
时,
恒成立;
(2)当
时,求
的单调区间.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,以点
为切点作函数图像的切线
,直线
与函数
图像及切线
分别相交于
,记
.
(1)求切线
的方程及数列
的通项;
(2)设数列
的前
项和为
,求证:
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
(e为自然对数的底数)
(1)求函数
的单调区间;
(2)设函数
,存在实数
,使得
成立,求实数
的取值范围
题型:不详
难度:
|
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