已知函数f(x)=ln ax- (a≠0).(1)求函数f(x)的单调区间及最值; (2)求证:对于任意正整数n,均有1+(e为自然对数的底数);(3)当a=1
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已知函数f(x)=ln ax- (a≠0).(1)求函数f(x)的单调区间及最值; (2)求证:对于任意正整数n,均有1+(e为自然对数的底数);(3)当a=1
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f
(
x
)=ln
ax
-
(
a
≠0).
(1)求函数
f
(
x
)的单调区间及最值;
(2)求证:对于任意正整数
n
,均有1+
(e为自然对数的底数);
(3)当
a
=1时,是否存在过点(1,-1)的直线与函数
y
=
f
(
x
)的图象相切?若存在,有多少条?若不存在,请说明理由.
答案
(1)当
a
>0时,函数在(0,
a
)上是减函数,在(
a
,+∞)上是增函数,
f
(
x
)min=
f
(
a
)=ln
a
2
,无最大值.当
a
<0时,函数在(-∞,
a
)上是减函数,在(
a,
0)上是增函数,
f
(
x
)
min
=
f
(
a
)=ln
a
2
,无最大值.(2)见解析(3)仅有一根
解析
(1)由题意得
f
′(
x
)=
.
当
a
>0时,函数
f
(
x
)的定义域为(0,+∞),此时函数在(0,
a
)上是减函数,在(
a
,+∞)上是增函数,
f
(
x
)min=
f
(
a
)=ln
a
2
,无最大值.
当
a
<0时,函数
f
(
x
)的定义域为(-∞,0),此时函数在(-∞,
a
)上是减函数,在(
a,
0)上是增函数,
f
(
x
)
min
=
f
(
a
)=ln
a
2
,无最大值.
(2)取
a
=1,由(1)知
f
(
x
)=ln
x
-
≥
f
(1)=0,故
≥1-ln
x
=ln
,
取
x
=1,2,3,…,
n
,则1+
.
(3)假设存在这样的切线,设其中一个切点为
T
,∴切线方程为
y
+1=
(
x
-1),将点
T
坐标代入得ln
x
0
-
+1=
,即ln
x
0
+
-
-1=0,①
设
g
(
x
)=ln
x
+
-
-1,则
g
′(
x
)=
.
∵
x
>0,∴
g
(
x
)在区间(0,1),(2,+∞)上是增函数,在区间(1,2)上是减函数,
故
g
(
x
)
极大值
=
g
(1)=1>0,
g
(
x
)
极小值
=
g
(2)=ln 2+
>0.
又
g
=ln
+12-16-1=-ln 4-5<0.
注意到
g
(
x
)在其定义域上的单调性,知
g
(
x
)=0仅在
内有且仅有一根,方程①有且仅有一解,故符合条件的切线仅有一条.
举一反三
已知函数
f
(
x
)=
a
x
+
x
2
,
g
(
x
)=
x
ln
a
,
a
>1.
(1)求证:函数
F
(
x
)=
f
(
x
)-
g
(
x
)在(0,+∞)上单调递增;
(2)若函数
y
=
-3有四个零点,求
b
的取值范围;
(3)若对于任意的
x
1
,
x
2
∈[-1,1]时,都有|
F
(
x
2
)-
F
(
x
1
)|≤e
2
-2恒成立,求
a
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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一个球的体积、表面积分别为
V
,
S
,若函数
V
=
f
(
S
),
f
′(
S
)是
f
(
S
)的导函数,则
f
′(π)=( )
A.
B.
C.1
D.π
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f
(
x
)=ln(
x
+1)-
x
2
-
x
.
(1)若关于
x
的方程
f
(
x
)=-
x
+
b
在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数
b
的取值范围;
(2)证明:对任意的正整数
n
,不等式2+
+
+…+
>ln(
n
+1)都成立.
题型:不详
难度:
|
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若(2x-3)
5
=a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+a
3
x
3
+a
4
x
4
+a
5
x
5
,则a
1
+2a
2
+3a
3
+4a
4
+5a
5
=________.
题型:不详
难度:
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已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数,e为自然对数的底数.
(1)当a=-1时,求f(x)的最大值;
(2)当a=-1时,试推断方程|f(x)|=
+
是否有实数解,并说明理由.
题型:不详
难度:
|
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