(1)∵F(x)=f(x)-g(x)=ax+x2-xln a, ∴F′(x)=ax·ln a+2x-ln a=(ax-1)ln a+2x. ∵a>1,x>0,∴ax-1>0,ln a>0,2x>0, ∴当x∈(0,+∞)时,F′(x)>0,即函数F(x)在区间(0,+∞)上单调递增. (2)由(1)知当x∈(-∞,0)时,F′(x)<0, ∴F(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. ∴F(x)的最小值为F(0)=1.由-3=0, 得F(x)=b-+3或F(x)=b--3, ∴要使函数y=-3有四个零点,只需 即b->4,即 >0, 解得b>2+或2- <b<0. 故b的取值范围是(2-,0)∪(2+,+∞). (3)∵∀x1,x2∈[-1,1],由(1)知F(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增, ∴F(x)min=F(0)=1. 从而再来比较F(-1)与F(1)的大小即可. F(-1)=+1+ln a,F(1)=a+1-ln a, ∴F(1)-F(-1)=a--2ln a. 令H(x)=x--2ln x(x>0), 则H′(x)=1+-== >0, ∴H(x)在(0,+∞)上单调递增. ∵a>1,∴H(a)>H(1)=0.∴F(1)>F(-1). ∴|F(x2)-F(x1)|的最大值为|F(1)-F(0)|=a-ln a, ∴要使|F(x2)-F(x1)|≤e2-2恒成立,只需a-ln a≤e2-2即可.令h(a)=a-ln a(a>1),h′(a)=1- >0,∴h(a)在(1,+∞)上单调递增.∵h(e2)=e2-2,∴只需h(a)≤h(e2),即1<a≤e2.故a的取值范围是(1,e2] |