(14分)己知函数f (x)=ex,xR(1)求 f (x)的反函数图象上点(1,0)处的切线方程。(2)证明:曲线y=f(x)与曲线y=有唯一公共点;(3)设
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(14分)己知函数f (x)=ex,xR(1)求 f (x)的反函数图象上点(1,0)处的切线方程。(2)证明:曲线y=f(x)与曲线y=有唯一公共点;(3)设
题型:不详
难度:
来源:
(14分)己知函数f (x)=e
x
,x
R
(1)求 f (x)的反函数图象上点(1,0)处的切线方程。
(2)证明:曲线y=f(x)与曲线y=
有唯一公共点;
(3)设
,比较
与
的大小,并说明理由。
答案
(1)
;(2) 详见解析;(3)
.
解析
试题分析:(1)f (x)的反函数
. 直线y=kx+1恒过点P(0,1),该题即为过某点与曲线相切的问题,这类题一定要先设出切点的坐标
,然后求导便可得方程组,解方程组即可得k的值.
(2)曲线y=f(x)与曲线
的公共点个数即方程
根的个数. 而这个方程可化为
,令
,结合
的图象即可知道
取不同值时,方程的根的个数.
(3) 比较两个式子的大小的一般方法是用比较法,即作差,变形,判断符号.
结合这个式子的特征可看出,我们可研究函数
的函数值的符号,而用导数即可解决.
试题解析:(1) f (x)的反函数为
.
,
,所以
过点
的切线为:
.
4分
(2) 令
,则
,当
时
,当
时
,
,所以
在R上单调递增.又
,所以
有且只有一个零点,即曲线
与
有唯一一个公共点.
8分
(3) 设
9分
令
,则
,
的导函数
,所以
在
上单调递增,且
,因此
,
在
上单调递增,而
,所以在
上
. 12分
当
时,
且
即
,
所以当
时,
14分
举一反三
已知函数
(其中
,e是自然对数的底数).
(Ⅰ)若
,试判断函数
在区间
上的单调性;
(Ⅱ)若函数
有两个极值点
,
(
),求k的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试证明
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,设
(Ⅰ)求函数
的单调区间
(Ⅱ)若以函数
图象上任意一点
为切点的切线的斜率
恒成立,求实数
的最小值
(Ⅲ)是否存在实数
,使得函数
的图象与函数
的图象恰有四个不同交点?若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,说明理由。
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,其中
为常数.
(Ⅰ)若函数
是区间
上的增函数,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)若
在
时恒成立,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=2ax-
-(2+a)lnx(a≥0)
(Ⅰ)当
时,求
的极值;
(Ⅱ)当a>0时,讨论
的单调性;
(Ⅲ)若对任意的a∈(2,3),x
1
,x
2
∈[1,3],恒有
成立,求实数m的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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设函数
,曲线
通过点(0,2a+3),且在
处的切线垂直于y轴.
(I)用a分别表示b和c;
(II)当bc取得最大值时,写出
的解析式;
(III)在(II)的条件下,g(x)满足
,求g(x)的最大值及相应x值.
题型:不详
难度:
|
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