已知函数(其中,e是自然对数的底数).(Ⅰ)若,试判断函数在区间上的单调性;(Ⅱ)若函数有两个极值点,(),求k的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试证明.
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已知函数(其中,e是自然对数的底数).(Ⅰ)若,试判断函数在区间上的单调性;(Ⅱ)若函数有两个极值点,(),求k的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试证明.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
(其中
,e是自然对数的底数).
(Ⅰ)若
,试判断函数
在区间
上的单调性;
(Ⅱ)若函数
有两个极值点
,
(
),求k的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试证明
.
答案
(Ⅰ)
在区间
上是单调递减函数;(Ⅱ)k的取值范围是
;(Ⅲ)详见解析.
解析
试题分析:(Ⅰ)将
代入
求导,根据其符号即可得其单调性;(Ⅱ)函数
有两个极值点
,
,则
,
是
的两个根,即方程
有两个根.接下来就研究函数
图象特征,结合图象便可知
取何值时,方程
有两个根.
(Ⅲ)结合
图象可知,函数
的两个极值点
,
满足
.
,这里面有
两个变量,那么能否换掉一个呢?
由
,得
,利用这个关系式便可将
换掉而只留
:
,这样根据
的范围,便可得
,从而使问题得证.
试题解析:(Ⅰ)若
,
,则
,
当
时,
,
故函数
在区间
上是单调递减函数. 4分
(Ⅱ)函数
有两个极值点
,
,则
,
是
的两个根,
即方程
有两个根,设
,则
,
当
时,
,函数
单调递增且
;
当
时,
,函数
单调递增且
;
当
时,
,函数
单调递减且
.
要使
有两个根,只需
,
故实数k的取值范围是
. 9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)的解法可知,函数
的两个极值点
,
满足
, 10分
由
,得
,
所以
,
由于
,故
,
所以
. 14分
举一反三
已知函数
,设
(Ⅰ)求函数
的单调区间
(Ⅱ)若以函数
图象上任意一点
为切点的切线的斜率
恒成立,求实数
的最小值
(Ⅲ)是否存在实数
,使得函数
的图象与函数
的图象恰有四个不同交点?若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,说明理由。
题型:不详
难度:
|
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已知函数
,其中
为常数.
(Ⅰ)若函数
是区间
上的增函数,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)若
在
时恒成立,求实数
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=2ax-
-(2+a)lnx(a≥0)
(Ⅰ)当
时,求
的极值;
(Ⅱ)当a>0时,讨论
的单调性;
(Ⅲ)若对任意的a∈(2,3),x
1
,x
2
∈[1,3],恒有
成立,求实数m的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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设函数
,曲线
通过点(0,2a+3),且在
处的切线垂直于y轴.
(I)用a分别表示b和c;
(II)当bc取得最大值时,写出
的解析式;
(III)在(II)的条件下,g(x)满足
,求g(x)的最大值及相应x值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
.
(I)讨论
的单调性;
(Ⅱ)若
在(1,+
)恒成立,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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