试题分析:(I)应用导数研究函数的单调性及极值的基本题型,利用“表解法”清晰明了. (II)解答本题的关键是,首先将问题转化成“若在区间(0,e]上至少存在一点,,使得成立,其充要条件是在区间(0,e]上的最小值小于0”. 应用分类讨论思想,就为正数、负数的不同情况加以讨论. 试题解析:(I)因为 当a=1,, 令,得, 又的定义域为,随的变化情况如下表: 所以时,的极小值为1. 的单调递增区间为,单调递减区间为; (II)因为,且 令,得到, 若在区间(0,e]上至少存在一点,,使得成立, 其充要条件是在区间(0,e]上的最小值小于0即可. 当<0, 即时,对成立, 所以,在区间(0,e]上单调递减, 故在区间(0,e]上的最小值为, 由,得,即 当>0,即时, 若,则对成立, 所以在区间上单调递减, 所以,在区间上的最小值为>0, 显然,在区间上的最小值小于0不成立; ②若,即时,则有 所以在区间上的最小值为, 由=a(1−lna)<0, 得,解得,即. 综上,由(1)(2)可知:符合题意. |