试题分析:(Ⅰ)将“f(x)在(0, )单调递减”转化为“"x∈(0,+∞),a≥ ”,然后才有构造函数的思想求解函数的最大值即可;(Ⅱ)通过对参数a 与1的讨论,借助求导的方法研究函数的单调性,进而分析保证有两个极值点的条件,通过解不等式求解求a的取值范围. 试题解析:(Ⅰ)f¢(x)=lnx+1-ax. f(x)单调递减当且仅当f¢(x)≤0,即"x∈(0,+∞), a≥ . ① 设g(x)= ,则g¢(x)=- . 当x∈(0,1)时,g¢(x)>0,g(x)单调递增; 当x∈(1,+∞)时,g¢(x)<0,g(x)单调递减. 所以g(x)≤g(1)=1,故a的最小值为1. 5分 (Ⅱ)(1)由(Ⅰ)知,当a≥1时,f(x)没有极值点. (2)当a≤0时,f¢(x)单调递增,f¢(x)至多有一个零点,f(x)不可能有两个极值点. 7分 (3)当0<a<1时,设h(x)=lnx+1-ax,则h¢(x)= -a. 当x∈(0, )时,h¢(x)>0,h(x)单调递增; 当x∈( ,+∞)时,h¢(x)<0,h(x)单调递减. 9分 因为f¢( )=h( )=ln >0,f¢( )=h( )=- <0, 所以f(x)在区间( , )有一极小值点x1. 10分 由(Ⅰ)中的①式,有1≥ ,即lnx≤x-1,则ln ≤ -1, 故f¢( )=h( )=ln2+2ln +1- ≤ln2+2( -1)+1- =ln2-1<0. 所以f(x)在区间( , )有一极大值点x2. 综上所述,a的取值范围是(0,1). |