试题分析:(Ⅰ)求函数的导数,分类讨论二次函数的零点情况,确定导函数的正负取值区间,进一步确定原函数的单调性. (Ⅱ)先把原不等式等价转化为,由于我们只能运用求导的方法来研究这个函数的值域,而此函数由于求导后不能继续判断导函数的正负区间,故利用均值不等式进行放缩, 后,函数可以通过求导研究值域,且 恒成立是恒成立的充分条件,注意需要二次求导. 试题解析:(Ⅰ)的定义域为, , (1)当时,解得或;解得 所以函数在,上单调递增,在上单调递减; (2)当时,对恒成立,所以函数在上单调递增; (3)当时,解得或;解得 所以函数在,上单调递增,在上单调递减. ……(6分) (Ⅱ)证明:不等式等价于 因为, 所以 , 因此 令, 则 令得:当时, 所以在上单调递减,从而. 即, 在上单调递减,得:, 当时,.. ……(12分) |